介紹

足球是世界上最受歡迎的運動，每四年舉辦一次的國際足聯(lián)俱樂部世界杯吸引了全世界無數(shù)的球迷足球比賽中最激動人心的時刻是射門和得分，這也是一個球隊成功的關(guān)鍵一次射門能否得分取決于很多因素，不僅包括球員自身的技術(shù)，還包括射門位置

圖1:波多爾斯基在波蘭中超的中場射門。

射門距離球門越遠，進球的可能性越小所以一個超長的吊射經(jīng)常被人們津津樂道在2022年波蘭足球聯(lián)賽扎布爾格與波甘的比賽中，足球老將波多爾在中場線附近遠射得分著名足球明星貝克漢姆和魯尼也是通過中場吊射得分的

圖2:麥孔在世界杯小組賽中幾乎以零度角進球。

此外，射門位置的進球角度也很大程度上影響得分難度，球門朝向球門方向的概率大于兩側(cè)雖然從小角度看很難進球，但在足球比賽中也出現(xiàn)過比如2010年巴西世界杯，小組賽，麥孔在底線附近以接近零度的視角攻入一球

圖3:西班牙超級杯半決賽，克羅斯踢進了一個角球。

即使是球門角度為零的角球也能直接進球比如2019/20賽季西班牙超級杯半決賽皇馬對瓦倫西亞的比賽，克羅斯角球直接進球著名的足球明星貝克漢姆和亨利也踢過角球

圖4:不同目標距離和不同目標角度的位置。

目標距離相同的位置可能有不同的目標角度，目標角度相同的位置也可能有不同的目標距離不同的射門位置對進球的影響有多大或者在特定位置射門，進球的期望概率是多少本文將從理論和統(tǒng)計的角度建立模型來回答這個問題

模型理論模型

= 7.32米，拍攝位置 " >

。

圖5:射門位置的目標距離和目標視角

從射門位置到球門的距離可以通過射門位置的坐標輕松確定 " >

也可以通過拍攝位置的坐標來確定 " >

根據(jù)上述公式，可以畫出圖6所示的刻痕電位函數(shù)及其等勢線得分勢函數(shù)反映了不同位置得分的相對難度

圖6:得分電位函數(shù)和等勢線

在同一個等電位線上拍攝同樣困難，但是電位越大越容易拍攝比如圖6，綠線上各個位置的射擊難度都差不多，綠色等勢線上各個位置的射擊難度都比紅色等勢線上的高

統(tǒng)計模式

坐標表示從事件點到現(xiàn)場右邊界的距離。

圖7:每個位置的拍攝數(shù)量

結(jié)果如圖8所示。

圖8:每個位置的進球數(shù)

顯然，由于數(shù)據(jù)有限，本文得到的得分頻率圖并不是光滑連續(xù)的

圖9:每個職位的目標頻率

但從空間得分頻率圖中不難發(fā)現(xiàn)，越靠近目標，越容易在面對目標時得分注意，在圖9中靠近邊界的少數(shù)網(wǎng)格中，有一些頻率很高的異常網(wǎng)格實際上，這是因為這些網(wǎng)格中的鏡頭數(shù)量非常少，沒有統(tǒng)計學意義例如，如果一個網(wǎng)格中只有一個鏡頭，并且這個鏡頭被計分，則該網(wǎng)格的計分頻率將為1

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，得分的概率也從幾乎為0增加到接近1。

圖10:目標角度和目標頻率之間的邏輯回歸

相應的擬合結(jié)果如圖11所示從圖中不難看出，伴隨著進球距離的增加，得分的概率逐漸趨于零當距離球門超過20米時，得分的難度更大

圖11:目標距離和目標頻率之間的邏輯回歸

= 1等勢線幾乎與可是，這兩個數(shù)字之間存在一些差異在圖6中，等勢線穿過兩個球門柱，但在圖12中，概率較小的等勢線與底線的交點不在球門柱處

目標概率

相應的空間概率分布如圖13所示從圖中不難看出，最優(yōu)模型的等概率曲線都是通過門柱的這與角球直接得分并不矛盾，因為本文統(tǒng)計的射門都發(fā)生在正常進攻過程中，不包括角球事實上，在動態(tài)攻防的過程中，直接在底線附近投籃是極其困難的

目標概率

從等概率曲線可以看出，拿球板在綠線內(nèi)投籃，得分的概率可以超過7%把球盤帶到紅線內(nèi)再射門，得分的概率可以超過15%

結(jié)論

不同的射門位置有不同的進球距離和視角，射門位置很大程度上影響能否進球基于射門位置的目標距離和目標視角，從理論和統(tǒng)計角度建立模型，研究不同位置射門的期望概率在理論模型中，本文構(gòu)造了得分勢函數(shù)得分勢函數(shù)可以給出不同位置得分的相對難度為了得到不同位置進球的概率，對足球比賽數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，應用logistic回歸模型擬合進球概率對進球角度，進球距離等因素的依賴關(guān)系，最后給出空間概率圖和等概率曲線

本文的結(jié)果給出了球場每個位置投籃得分的期望概率，可以告訴球員應該在哪里多投籃總體來說，符合我們的直覺:射門位置越靠近球門，越朝向球門，射門得分的幾率越大當然這個概率并不適用于所有球員，但是得分概率圖可以讓所有球員知道不同位置進球的難度，讓球員在權(quán)衡自身能力和對方防守的基礎(chǔ)上做出合理的決定此外，得分概率圖的梯度方向也為球員指明了進攻方向比如圖13，在綠線附近進球的幾率是7%，而在梯度方向跑幾步到達紅線再射門可以讓進球幾率翻倍

參考數(shù)據(jù)

塞薩爾·莫拉萊斯足球中一個基于數(shù)學的新禁區(qū):鏟球假摔體育科學雜志，34:2233–2237，2016

大衛(wèi)·桑普特美麗游戲?qū)I(yè)版中的數(shù)學冒險布盧姆斯伯里出版社，2017年

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