卡爾·弗里德里希·高斯是個(gè)神童在年底前19年，他有了一個(gè)非凡的發(fā)現(xiàn)2000多年來(lái)，人們已經(jīng)知道如何用尺子和圓規(guī)做出等邊三角形和正五邊形，卻不知道如何用質(zhì)數(shù)做出正多邊形高斯證明了一個(gè)正七邊形也可以用尺子和指南針畫(huà)出來(lái)

高斯通過(guò)寫(xiě)日記來(lái)紀(jì)念他的發(fā)現(xiàn)，在接下來(lái)的18年里，他在這本日記中記錄了他的許多發(fā)現(xiàn)當(dāng)他是學(xué)生的時(shí)候，他取得了很多成功有的是18世紀(jì)歐拉，拉格朗日等數(shù)學(xué)家證明的定理的重新發(fā)現(xiàn)，其中許多都是新發(fā)現(xiàn)在他學(xué)生時(shí)代比較重要的發(fā)現(xiàn)中，我們可以挑出最小二乘法，數(shù)論中二次互反定律的證明以及他對(duì)代數(shù)基本定理的研究他獲得了博士學(xué)位，學(xué)位論文的題目是所有一元有理代數(shù)整函數(shù)都可以分解為第一或第二實(shí)因子的定理的新證明這是他一生中發(fā)表的代數(shù)基本定理的四個(gè)證明中的第一個(gè)在這篇文章中，高斯強(qiáng)調(diào)了在證明這個(gè)定理的過(guò)程中，證明至少一個(gè)根的重要性下面的解釋可以說(shuō)明他的想法

我們可以用圖解法解這個(gè)方程。

證明了有一個(gè)復(fù)數(shù)值z(mì)=a+bi滿(mǎn)足這個(gè)方程用a+bi代替Z，把方程的實(shí)部和虛部分開(kāi)，得到A 2—B 2 = 0，ab—2=0將A和B解釋為變量，在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫(huà)出這些函數(shù)一個(gè)坐標(biāo)軸代表實(shí)部A，另一個(gè)坐標(biāo)軸代表虛部B，我們有兩條曲線，一種是由直線a+b=0和a—b=0組成，另一種是由等邊雙曲線ab=+2組成

顯然，兩條曲線在第一象限有一個(gè)交點(diǎn)P我們要特別注意，第一條曲線的一個(gè)分支沿著θ=1π/4和θ=3π/4的方向離開(kāi)原點(diǎn)，第二條曲線的一條分支漸近地向θ=0π/4和θ=2π/4移動(dòng)，交點(diǎn)在后兩個(gè)方向θ=0和θ=π/2之間這個(gè)交點(diǎn)A和B的坐標(biāo)是方程Z 2—4i = 0的解的實(shí)部和虛部如果我們?cè)瓉?lái)的多項(xiàng)式方程是三次的而不是二次的，那么一條曲線的一個(gè)分支將接近θ=1π/6和θ=3π/6的方向，另一條曲線將接近θ=0π/6和θ=2π/6的方向在任何情況下，這些分支都是連續(xù)的，因此它們必須在θ=0到θ=π/3之間的某個(gè)位置相交

對(duì)于n次方程，曲線的一個(gè)分支具有漸近方向θ=1π/2n和θ=3π/2n，而另一個(gè)分支具有漸近方向θ=0π/2n和θ=2π/2n這些分支必須從θ=0到θ = π/n相交，A和B在這個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)就是滿(mǎn)足這個(gè)方程的復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部所以我們可以看到，一個(gè)多項(xiàng)式方程無(wú)論是什么次數(shù)，都至少有一個(gè)復(fù)根我們會(huì)注意到高斯依靠這些曲線的圖形表示來(lái)證明它們的相交承認(rèn)這個(gè)結(jié)果，證明了多項(xiàng)式方程可以分解為第一或第二實(shí)因子

數(shù)論

高斯在哥廷根大學(xué)讀書(shū)時(shí)就開(kāi)始寫(xiě)一本重要的數(shù)論著作《算術(shù)研究》，這是數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中的偉大經(jīng)典之一，在他的博士論文被批準(zhǔn)兩年后出版這本書(shū)由七部分組成前四部分實(shí)質(zhì)上是18世紀(jì)數(shù)論的濃縮重建討論的基本原理是同余和剩余類(lèi)的概念第五部分是二元二次型的理論，特別是形式

方程的解，這部分發(fā)展出來(lái)的技術(shù)，成為了后世代數(shù)理論家所做的大量工作的基礎(chǔ)第6部分由各種應(yīng)用程序組成首先，最后一部分最引人注目，是關(guān)于素?cái)?shù)割線圓方程的求解

高斯·勒讓德兩年前發(fā)表的第二互易定律被稱(chēng)為黃金定律在他的后期著作中，高斯試圖得到n=3和4的同余x n = p的類(lèi)似定理，但在這兩種情況下，他發(fā)現(xiàn)有必要將整數(shù)一詞的含義擴(kuò)大到包括所謂的高斯整數(shù)，即形狀像a+bi的整數(shù)，其中A和B都是整數(shù)高斯整數(shù)形成一個(gè)整環(huán)，就像實(shí)整數(shù)一樣，但是更一般整除的問(wèn)題變得更加復(fù)雜，因?yàn)?不再是素?cái)?shù)，可以分解成兩個(gè)素?cái)?shù)1+2i和1—2i的乘積事實(shí)上，任何形如4n+1的實(shí)素?cái)?shù)都不是高斯素?cái)?shù)，而形如4n—1的實(shí)素?cái)?shù)仍然是廣義素?cái)?shù)高斯的算術(shù)研究包括算術(shù)基本定理，它是在整個(gè)高斯整數(shù)環(huán)中繼續(xù)有效的基本原理之一其實(shí)任何因式分解都是唯一的整環(huán)，今天叫做高斯整環(huán)

任何正整數(shù)都可以用一種且只有一種方式表示為質(zhì)數(shù)的乘積。

高斯素?cái)?shù)的發(fā)現(xiàn)并不都包含在算術(shù)研究中。當(dāng)他還是個(gè)14歲的孩子時(shí)，高斯用德語(yǔ)在對(duì)數(shù)表的背面寫(xiě)下了這樣一行晦澀的文字:

這行文字說(shuō)的是一個(gè)著名的素?cái)?shù)定理:當(dāng)A無(wú)限增大時(shí)，小于給定整數(shù)A的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)趨近于a/lna。

正如我們已經(jīng)看到的，勒讓德是接近發(fā)現(xiàn)這個(gè)定理，但奇怪的是，正如我們推測(cè)的那樣，高斯寫(xiě)了這個(gè)定理，但他對(duì)這個(gè)巧妙的結(jié)論保密我們不知道他是否證明了這個(gè)定理，甚至不知道他什么時(shí)候?qū)懥诉@個(gè)定理的陳述素?cái)?shù)的分布對(duì)數(shù)學(xué)家有很強(qiáng)的吸引力

1845年，當(dāng)高斯已經(jīng)是一個(gè)老人的時(shí)候，巴黎的教授Joseph L . F Bertrand提出了這樣一個(gè)猜想:如果ngt3，那么n和2n之間至少包含一個(gè)素?cái)?shù)這個(gè)被稱(chēng)為伯特蘭公設(shè)的猜想是由圣彼得堡大學(xué)的帕夫努蒂·切比雪夫在1850年證明的作為他那個(gè)時(shí)代領(lǐng)先的俄羅斯數(shù)學(xué)家，切舍夫是羅巴切夫斯基的競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手他后來(lái)成為法國(guó)科學(xué)院和英國(guó)皇家學(xué)會(huì)的外籍院士切舍夫顯然不知道高斯關(guān)于素?cái)?shù)的著作他可以證明，如果π/n在n無(wú)限增加時(shí)逼近一個(gè)極限，那么這個(gè)極限一定是1，但他無(wú)法證明極限的存在直到切比雪夫死后兩年，一個(gè)證據(jù)才廣為人知

自歐幾里得時(shí)代以來(lái)，素?cái)?shù)的數(shù)目和分布就吸引了許多數(shù)學(xué)家有一個(gè)定理，高斯自己在算術(shù)研究中舉了一個(gè)驚人的例子，說(shuō)明了一個(gè)事實(shí)，素?cái)?shù)的性質(zhì)甚至以最意想不到的方式侵入了幾何領(lǐng)域

在高斯《算術(shù)研究》的結(jié)尾，收錄了他在數(shù)學(xué)領(lǐng)域最早的重要發(fā)現(xiàn):正七邊形的做法通過(guò)證明無(wú)限可能的正多邊形中哪些是可以做的，哪些是不可以做的，他把這門(mén)學(xué)科引向了它的邏輯結(jié)果一般的定理，比如此刻高斯的證明，遠(yuǎn)比一個(gè)特例有價(jià)值，不管這個(gè)特例有多壯觀

費(fèi)馬數(shù)

數(shù)字是質(zhì)數(shù)，歐拉后來(lái)證明這個(gè)假設(shè)是錯(cuò)誤的高斯證明了正17邊形是可以做出來(lái)的，問(wèn)題自然產(chǎn)生了:正257邊形和正65537邊形是否可以用歐幾里德的工具做出來(lái)

形式，那么，一個(gè)規(guī)則的N—多邊形可以這個(gè)問(wèn)題還有一個(gè)方面高斯沒(méi)有回答，至今無(wú)人回答

費(fèi)馬素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是有限的還是無(wú)限的。

我們已經(jīng)知道費(fèi)馬數(shù)對(duì)于n=5，6，7，8，9來(lái)說(shuō)不是素?cái)?shù)，但是看起來(lái)很可能只有5個(gè)邊數(shù)為素?cái)?shù)的正多邊形可以用尺子和圓規(guī)做出來(lái)，其中兩個(gè)在古代就已經(jīng)知道了，另外三個(gè)是高斯發(fā)現(xiàn)的有一個(gè)高斯很崇拜的人，費(fèi)迪南·哥德霍爾德·愛(ài)森斯坦，柏林的一個(gè)數(shù)學(xué)老師，他增加了一個(gè)關(guān)于素?cái)?shù)的新猜想

等等都是質(zhì)數(shù)據(jù)說(shuō)高斯曾經(jīng)評(píng)價(jià)說(shuō)，劃時(shí)代的數(shù)學(xué)家只有三個(gè):阿基米德，牛頓和愛(ài)森斯坦不幸的是，愛(ài)森斯坦不到30歲就去世了

高斯的算術(shù)研究一直處于沉睡狀態(tài)，直到19世紀(jì)20年代，C.G.J .雅可比和狄利克雷第一次揭示了一些更深刻的結(jié)果是從這項(xiàng)工作中得出的。

高斯對(duì)天文學(xué)的貢獻(xiàn)

日前，巴勒莫天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)Josep Piazi發(fā)現(xiàn)了一顆新的小行星Ceres但是幾個(gè)星期后，小行星就不見(jiàn)了高斯相信自己擁有非凡的計(jì)算能力和最小二乘法的額外優(yōu)勢(shì)，他接受了挑戰(zhàn)，從幾個(gè)記錄的觀測(cè)數(shù)據(jù)中計(jì)算出這顆行星的軌道為了完成從有限的觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算軌道的任務(wù)，他設(shè)計(jì)了一種方法，叫做高斯法，這種方法至今仍被用來(lái)跟蹤衛(wèi)星結(jié)果非常成功這顆行星在今年年底被重新發(fā)現(xiàn)，與他計(jì)算的位置非常接近高斯的軌道計(jì)算吸引了全世界天文學(xué)家的注意，并很快為他在德國(guó)數(shù)學(xué)科學(xué)家中贏得了顯赫的聲譽(yù)當(dāng)時(shí)他們大多從事天文學(xué)和大地測(cè)量學(xué)1807年，他被任命為哥廷根天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)，并擔(dān)任了近半個(gè)世紀(jì)兩年后，他的理論天文學(xué)經(jīng)典著作《天體運(yùn)行論》出版這本書(shū)為軌道計(jì)算提供了明確的指南到他去世時(shí)，這本書(shū)已被翻譯成英語(yǔ)，法語(yǔ)和德語(yǔ)

可是，軌道計(jì)算并不是高斯為自己贏得名聲，為后人鋪平道路的唯一天文領(lǐng)域在19世紀(jì)的第一個(gè)十年，他花了很多時(shí)間研究微擾問(wèn)題在高斯的好朋友奧爾勃斯于1802年重新發(fā)現(xiàn)小行星帕拉斯·雅典娜之后，攝動(dòng)問(wèn)題成為天文學(xué)家關(guān)注的焦點(diǎn)智行的偏心率比較大，特別是受其他星球引力的影響確定這些引力的影響是N體問(wèn)題的特例

高斯從早年開(kāi)始就有意識(shí)地追隨這兩個(gè)天才的腳步，尋找最接近的相似解對(duì)他來(lái)說(shuō)特別迷人雖然他認(rèn)為只有部分成果達(dá)到了公開(kāi)發(fā)表的質(zhì)量，但他對(duì)這個(gè)問(wèn)題的研究不僅產(chǎn)生了一些天文學(xué)論文，還產(chǎn)生了兩篇經(jīng)典論文，一篇是無(wú)窮級(jí)數(shù)，另一篇是數(shù)值分析的新方法前一篇論文于1812年提交給哥廷根學(xué)會(huì)，致力于超幾何級(jí)數(shù)的研究因?yàn)楸疚奶岢龅氖諗繙?zhǔn)則往往被認(rèn)為開(kāi)辟了一個(gè)嚴(yán)格數(shù)學(xué)分析的新時(shí)代但需要指出的是，對(duì)收斂性的深入理解并不妨礙高斯和當(dāng)時(shí)其他偉大的數(shù)學(xué)家在解決物理問(wèn)題時(shí)使用發(fā)散級(jí)數(shù)，只要他們認(rèn)為自己可以有把握地這樣做

微分幾何的起源

高斯在1827年開(kāi)創(chuàng)的幾何學(xué)分支叫做微分幾何學(xué)，它可能更屬于分析學(xué)而不是傳統(tǒng)幾何學(xué)自牛頓和萊布尼茨以來(lái)，人們一直將微積分應(yīng)用于二維空間中曲線的研究從某種意義上說(shuō)，這部著作構(gòu)成了微分幾何的雛形歐拉和蒙田將這一應(yīng)用擴(kuò)展到曲面的分析研究，因此，他們有時(shí)被視為微分幾何之父可是，直到高斯的經(jīng)典著作《曲面通論》出版后，才出現(xiàn)了一本完全致力于這一課題的綜合性著作粗略地說(shuō)，正統(tǒng)幾何感興趣的是給定幾何圖形的整體，而微分幾何關(guān)心的是曲線或曲面所在點(diǎn)的鄰域性質(zhì)在這個(gè)方向上，高斯通過(guò)定義曲面在一點(diǎn)上的曲率——高斯曲率或全曲率，擴(kuò)展了惠更斯和克萊爾在平面曲線或非對(duì)稱(chēng)曲線的曲率上所做的工作

如果把好曲面S上的一個(gè)點(diǎn)P作為S的法線N，經(jīng)過(guò)N的平面光束將與曲面S相交成一簇平面曲線，每條曲線都有一個(gè)曲率半徑曲率半徑最大和最小的曲線的方向稱(chēng)為S在P點(diǎn)的主方向，它們總是互相垂直的而r的大小稱(chēng)為s在p點(diǎn)的主曲率半徑，s在p點(diǎn)的高斯曲率定義為K=1/rR

稱(chēng)為S在p點(diǎn)的平均曲率，高斯根據(jù)曲面在不同坐標(biāo)系中偏導(dǎo)數(shù)的條件給出了高斯曲率k的公式他還發(fā)現(xiàn)了一些關(guān)于畫(huà)在曲面上的曲線簇性質(zhì)的定理，連他自己都認(rèn)為是了不起的定理

高斯開(kāi)始用歐拉提出的一個(gè)曲面的參數(shù)方程來(lái)處理曲面高斯證明了曲面的性質(zhì)只依賴(lài)于E，F(xiàn)和g

這導(dǎo)致了許多結(jié)果特別是，這使得說(shuō)曲面的性質(zhì)是常數(shù)變得很容易正是在高斯的這項(xiàng)工作的基礎(chǔ)上，黎曼和后來(lái)的幾何學(xué)家改變了微分幾何的主題

高斯的晚期作品

高斯的后期研究貢獻(xiàn)了兩篇重要的論文:一篇是代數(shù)中哈里奧特定理的證明，另一篇包括高斯的最小約束原理歷史學(xué)家經(jīng)常引用第一篇論文，因?yàn)樗烁咚箯?fù)數(shù)的幾何表示這篇論文整體的重要性在于，它指出了一條將數(shù)論從實(shí)數(shù)域擴(kuò)展到復(fù)數(shù)域，甚至更遠(yuǎn)的途徑正如上面已經(jīng)指出的，這在數(shù)論領(lǐng)域后來(lái)的研究者的工作中是非常重要的

在他生命的最后20年里，高斯只發(fā)表了兩篇具有數(shù)學(xué)意義的重要論文一個(gè)是他對(duì)代數(shù)基本定理的第四個(gè)證明這個(gè)證明是在1849年他獲得博士學(xué)位的周年紀(jì)念日發(fā)布的，距離他發(fā)表第一個(gè)證明已經(jīng)50年了另一篇關(guān)于位勢(shì)理論的有影響力的論文，發(fā)表于1840年在20世紀(jì)30年代和40年代初，地磁占據(jù)了他的大量時(shí)間在20世紀(jì)30年代后期，他也花了很多時(shí)間研究與重量和測(cè)量有關(guān)的問(wèn)題他生命最后十年的大部分出版物都與天文臺(tái)的工作有關(guān)，涉及的主題有:新發(fā)現(xiàn)的小行星和海王星的觀測(cè)

日前，高斯死于心臟病發(fā)作。

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